Математика: 11 класс геометрия

25.09.2020 Геометрия

Умножение вектора на число

п.42 (стр.89) прочитать, выучить, записать формулы.

Разобрать задачи и записать в тетрадь.

Задача 1:

Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:

Рис. 8. Тетраэдр, задача 1

Решение:

По правилу треугольника:

Аналогично:

, ч. т. д.

По правилу треугольника:

Аналогично: , ч. т. д.

Задача 2

Упростить выражение:

Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: , ее значение очевидно:

Проиллюстрируем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух векторов

Теперь сократим противоположные векторы:

Можно было сразу заметить:

В результате упрощения получено:

Задача 3.Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы и :

Рис. 5. Три вектора в пространстве

Необходимо построить вектор .

Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы и . Вектор сонаправлен с вектором , длина его в три раза больше. Вектор противоположно направлен вектору , длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):

Рис. 6. Умножение вектора на число

Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор – получаем точку С. Из точки С откладываем вектор – получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор соответствует искомому вектору :